Найти минимум функции на листочке

Здравствуйте, Мария.
Вам нужно минимумы для двух функций найти?
Или это одна функция как-то странно по-двойному задана?

Мария Роскладка 17 января 2022

Здравствуйте, да, для двух, два решения нужно

Мария Роскладка 17 января 2022

Здравствуйте, да, для двух, два решения нужно

Я правильно понимаю, что первая функция у Вас - это функция от двух аргументов?
f(x1, x2) = 2 * x1 * x2 + ( (x1)^2 + x2)^3

Или что означает запись 2x1?

Мария Роскладка 17 января 2022

Да, всё верно.f(x1, x2) = 2 * x1 * x2 + ( (x1)^2 + x2)^3 

Мария Роскладка 17 января 2022

Но есть требование. Нельзя брать производную

А как на листочке найти минимум, не беря производную?

Можно было бы написать программу, которая перебором минимум искала бы. Но на листочке?

Мария Роскладка 17 января 2022

Это предмет в универе, сейчас в задание добавлю материалы (книги). Мне дали задание найти минимум на листочке именно, а не программой.

За литературу благодарю. Самому будет интересно ее изучить.
Но, к сожалению, быстро помочь Вам не смогу :(

Кстати, производная там тоже не сильно помогает (особенно для второй функции), т.к. она приводит к весьма нетривиальному выражению, которое к виду простой функции и не приведешь.

Это у Вас какая-то расчетная работа? Теория какая-то есть на эту тему? Или хотя бы что за предмет?
Или это реальная (коммерческая) задача?

Простите. Заметил "недифференцированная оптимизация".

Отъезжаю, т.к. без понятия что это такое (и даже Гугл не сильно в курсе).

Простите за беспокойство.

Обе функции не ограничены снизу.
В первой при x2 → -∞ и любом x1 получаем f → -∞
Во второй x^3 съедает косинус и при x→ -∞ получаем f → -∞

Мария Роскладка 17 января 2022

Можете пожалуйста мне продемонстрировать подробное решение?

Не ведаю, что является "подробным решением" с точки зрения вашего препа.

Нужна ваша нотация.

Мария Роскладка 17 января 2022

К сожалению, мне не дано задания типа "найти минимум функции определённым алгоритмом" Мне разрешается выбрать любой. Но  не знаю алгоритмов где нельзя использовать производную

Мария Роскладка 17 января 2022

Мне нужно выбрать любой алгоритм поиска минимума функции и его реализовать на листочке

Мой ответ базируется на знании общих свойств функций, а не на "алгоритме".

Он аналитический, не численный. 

Это привилегия strong natural intelligence ;)

Как и другие участники дискуссии, не имею понятия, что такое этот ваш предмет, и как положено отвечать на вопрос.

Мария приложила книги к задаче. Весьма интересные. Но там много страниц - читать долго.

Мария Роскладка 17 января 2022

Я вас прекрасно понимаю) Спасибо за ответы. Удачи в будущем)

Функции гладкие и дифференцируемые. 

Что именно предлагается использвать из двух предложенных книг?

Мария Роскладка 17 января 2022

Не сильно понимаю вопроса. Задание от преподавателя звучит именно так:"Найти минимумы данных функций на листочке без использования производной". Частные производные использовать можно. Функции придуманы "от фонаря" прям на паре

Мария Роскладка 17 января 2022

А книги я получила в начале семестра

Предположу, что взятие предела от отношения приращений функции и аргумента не является в этой картине мира взятием производной. 

Коши бы поспорил. Но кто он такой?

Найдите предел и покажите, что это - бесконечность.

Мария Роскладка 18 января 2022

Я не знаю мат. анализа и в принципе не умею решать эти математические задачи. Именно поэтому я прошу помощи. Я не умею искать предел.

Сама задача сформулирована коряво - во втором примере довольно очевидно, что приличных по модулю значениях переменной вторым слагаемым при оценке поведения функции можно смело пренебречь, поэтому закрадывается подозрение, что найти минимум в точках экстремума, а не минимальное значение. Функция же из первого примера поинтереснее, она задает поверхность в пространстве (может "объяснить на листочке" подразумевает изгибание бумажного листа???), поэтому Выше утверждение справедливо лишь при некотором отставании по модулю х1 от х2; если же обе переменные будут стремиться к  -∞, то значение функции будет приближаться к +∞, а не -∞

Дык, задача - минимум искать. Вот и говорю, что -∞ присутствует. 

А так-то да, и +∞ местами есть. Но это - максимум. Про него не спрашивают.

Я всего лишь поправил Ваше утверждение "В первой при x2 → -∞ и любом x1 получаем f → -∞" - не при любом х1, а ограниченном по модулю. Если же х1 стремится к +∞ или -∞, то влияние значения переменной х2 становится несущественным и уже ним можно пренебречь.

Согласна. Имелось в виду "при любом фиксированном".

Может в первом примере препод предлагаем координаты ямы на поверхности найти - хз, я предложенную формулировку тупо не понимаю... 

В переписке отмчалось, что преп написал функции "прям из головы". Похоже, квалификации на годные экспромты не хватило.  Отсюда и недоразумение.  

То есть Вы рассмотрели только частный случай -  параллельный оси х1 разрез поверхности будет иметь форму кубической параболы, но параллельный оси х2 будет параболой квадратичной, поэтому из-за более высокой четной степени при х2 и стремлении обеих переменных в минус бесконечность значение функции устремится в плюс бесконечность.

Переменные независимы. Техника заключается в фиксации одной перепенной и работе с другой. На этом построена вся идеология часных производных. 

Пусть х1=0. Тогда Z = f(0,x2) = x2^3. Этого достаточно, чтобы увидеть хвост поверхности, уходящий вниз навсегда. Поверхность идет по Z, если что. 

Устремляя обе переменные в бесконечность, вы тоже получаете некоторую картину, но у нее такие же "права", как и у f(0,x2) вдоль x1 = 0. Это - тоже "частный случай".

В математической логике есть понятия необходимых и достаточных условий - первые соответствуют истинности обратных утверждений, вторые прямых. Например о делении нацело: 

1. Чтобы число делилось на 10, НЕОБХОДИМО, чтобы оно делилось на 2.

2. Чтобы число делилось на 2, ДОСТАТОЧНО, чтобы оно делилось на 10.

3. Чтобы число делилось на 10, НЕОБХОДИМО и ДОСТАТОЧНО, чтобы оно делилось на 2 и 5.

Так вот, Ваше ИЗНАЧАЛЬНОЕ утверждение "Обе функции не ограничены снизу. В первой при x2 → -∞ и любом x1 получаем f → -∞" содержало противоречие правилам математической логики: на самом деле истинно обратное утверждение "из f → -∞ следует x2 → -∞", а прямое "из x2 → -∞ следует f → -∞" ложно, потому что x2 → -∞ всего лишь необходимое, но недостаточное условие, а для достаточности нужно добавить второе необходимое о конечности значения х1 вместо "при любом х1".

Эта оплошность малозаметна, но существенна, о чем я, собственно, и написал, а в остальном Вы решили изначально поставленную задачу на отлично и не вдаваясь в излишние подробности о конфигурации задаваемой функцией поверхности. То есть я всего лишь уточнил и спорить ни о чем не собирался...

Дык, никто и не спорит. Уточнение формулировки дано выше.

Вот и хорошо, а то уже складывалось впечатление, будто Вы настроились защищать взгляды, на которые у меня и в мыслях не было посягать )

***

;)

А тут еще нужна помощь или задача успешно решена коллективными усилиями?

Мария Роскладка 18 января 2022

Нужна!!!!!!!!!!!

Понял, отпишусь, когда на руках будет решение (скорее всего после обеда).

Мария Роскладка 18 января 2022

Хорошо, буду ждать

Решение у меня есть, но оно не из тех книг, что вы скинули и не очень элегантное. У вас какой срок решения?

Мария Роскладка 19 января 2022

Сегодня вечером крайний срок